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河北工業(yè)大學(xué)2021 年碩士研究生招生考試自命題科目考試大綱

科目代碼：601

科目名稱：數(shù)學(xué)分析

適用專業(yè)：數(shù)學(xué)

一、考試要求數(shù)學(xué)分析適用于河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)研究生招生專業(yè)課考試。主要考察對(duì)于數(shù)學(xué)分析基本概念、基本理論和基本方法以及運(yùn)用所學(xué) 知識(shí)分析問題和解決問題的能力。

二、考試形式試卷采用客觀題型和主觀題型相結(jié)合的形式，主要包括計(jì)算題、證明題等。考試時(shí)間為 3 小時(shí)，總分為 150 分。

三、考試內(nèi)容

（一）變量與函數(shù) 函數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)、基本初等函數(shù)。

（二）極限與連續(xù) 1、數(shù)列極限和無窮大量：數(shù)列極限的定義、性質(zhì)、運(yùn)算，單調(diào) 有界數(shù)列，無窮大量的定義、性質(zhì)及運(yùn)算。 2、函數(shù)極限: 函數(shù)在一點(diǎn)的極限，函數(shù)極限的性質(zhì)和運(yùn)算，單側(cè)極限，函數(shù)在無窮遠(yuǎn)出的極限，函數(shù)值趨于無窮大的情形，重要極限。 3、連續(xù)函數(shù): 連續(xù)的定義、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，不連續(xù)點(diǎn) 的類型，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 4、無窮大量和無窮小量的階。

（三）關(guān)于實(shí)數(shù)的基本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 1、關(guān)于實(shí)數(shù)基本定理：子列的概念，上（下）確界，區(qū)間套定理，致密性定理，Cauchy收斂原理，有限覆蓋定理。 2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理，最大和最小值定理，零點(diǎn)存在定理，反函數(shù)連續(xù)性定理，一致連續(xù)性定理。

（四）導(dǎo)數(shù)與微分 1、導(dǎo)數(shù)的定義, 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義。 2、簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù):常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)數(shù) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 3、求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)。 4、微分及其運(yùn)算：微分的定義，微分的運(yùn)算法則。 5、隱函數(shù)及參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo)。 6、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分：高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，高階微分。

（五）微分學(xué)的基本定理及其應(yīng)用 1、中值定理：Fermat定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。 2、Taylor公式和近似計(jì)算Taylor公式。 3、函數(shù)的單調(diào)性、極值與凸性。 4、平面曲線的曲率。 5、待定型----洛必達(dá)法則。 6、方程的近似解。

（六）不定積分 1、不定積分的概念及其運(yùn)算法則。 2、不定積分的計(jì)算：換元積分法，分步積分法，有理函數(shù)積分法。

（七）定積分 1、定積分的概念。 2、定積分存在的條件：定積分存在的充分必要條件，可積函數(shù) 類。 3、定積分的性質(zhì)。 4、定積分的計(jì)算：基本公式，換元積分法，分步積分公式。

（八）定積分的應(yīng)用和近似計(jì)算 1、平面圖形的面積。 2、曲線的弧長(zhǎng)。 3、體積。 4、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。 5、質(zhì)心。 6、平均值、功的計(jì)算。 7、定積分的近似計(jì)算。

（九）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1、數(shù)列的上、下極限。 2、級(jí)數(shù)收斂性及其基本性質(zhì)。 3、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂的判別法。 4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)。條件收斂判別法。 5、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)和條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。 6、無窮乘積。

（十）反常（廣義）積分 1、無窮限反常積分：無窮限反常積分的概念，無窮限反常積分和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系，無窮限反常積分收斂性判別法。 2、無界函數(shù)的反常積分：無界函數(shù)的反常積分的概念和收斂判別法，反常積分的主值。

（十一）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù) 1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂：一致收斂的定義，性質(zhì)，判別法。 2、冪級(jí)數(shù)：收斂半徑，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。 3、逼近定理。

（十二）富里埃級(jí)數(shù)和富里埃變換 1、函數(shù)的富里埃級(jí)數(shù)展開：三角函數(shù)系的正交性，富里埃級(jí)數(shù) 的系數(shù)，富里埃級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式，富里埃級(jí)數(shù)的收斂性定理。 2、富里埃變換：富里埃變換的概念和性質(zhì)。

（十三）多元函數(shù)的極限與連續(xù) 1、平面點(diǎn)集：鄰域、點(diǎn)列和極限，開集、閉集和區(qū)域，平面點(diǎn)集的基本定理——矩形套定理、致密性定理、有限覆蓋定理、 Cauchu 收斂原理。 2、多元函數(shù)的極限與連續(xù)：多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的極限、連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，二次極限和二重極限。

（十四）偏導(dǎo)數(shù)與全微分 1、偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念：偏導(dǎo)數(shù)的定義，全微分的定義，高階偏導(dǎo)數(shù)和高階全微分。 2、求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。 3、由方程（組）所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法：一個(gè)方程的情形，方程組的情形。 4、空間曲線的切線與法平面。 5、曲面的切平面與法線。 6、方向?qū)?shù)和梯度。 7、多元函數(shù)的泰勒公式。

（十五）極值和條件極值 1、極值和最小二乘法。 2、條件極值。

（十六）隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān) 1、隱函數(shù)存在定理：一個(gè)方程的情形，方程組的情形。 2、函數(shù)行列式的性質(zhì)和函數(shù)相關(guān)。

（十七）含參變量的積分含參變量積分的連續(xù)性、可微性及交換積分次序的定理。

（十八）含參變量的廣義積分 1、一致收斂性的定義。 2、一致收斂積分的判別法。 3、一致收斂積分的性質(zhì)。 4、阿貝爾判別法和狄立克萊判別法。 5、歐拉積分。

（十九）積分的定義和性質(zhì) 1、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、曲面積分積分的概念。 2、積分的性質(zhì)。

（二十）重積分的計(jì)算和應(yīng)用 1、二重積分的計(jì)算：化二重積分為二次積分，用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，二重積分的一般變量替換。 2、三重積分的計(jì)算: 化三重積分為三次積分, 三重積分的變量替換。 3、積分在物理上的應(yīng)用——質(zhì)心、矩，引力。 4、廣義重積分。

（二十一）曲線積分和曲面積分的計(jì)算 1、第一類曲線積分的計(jì)算。 2、第一類曲面積分的計(jì)算：曲面積分，曲面積分的計(jì)算。 3、第二類曲線積分：物理意義，第二類曲線積分的計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系。 4、第二類曲面：曲面的側(cè)，第二類曲面積分的定義，兩類曲面積分的聯(lián)系，第二類曲面積分的計(jì)算。

（二十二）各種積分間的聯(lián)系和場(chǎng)論初步 1、各種積分間的聯(lián)系：格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式。 2、曲線積分和路徑無關(guān)的條件。 3、場(chǎng)論初步——場(chǎng)的概念，散度與旋度，保守場(chǎng)，Laplace算子。四、參考書目 [1]《數(shù)學(xué)分析》，主編：歐陽光中，高等教育出版社。 [2]《數(shù)學(xué)分析》，主編：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社。

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